مبانی احتمال
احتمال به رو افتادن و احتمال به پشت افتادن یه سکه چند است؟
برای نوشتن جواب ابتدا احتمال رو افتادن و بعدش احتمال پشت افتادن سکه را به صورت اعشاری با یک فاصله از هم بنویس. مثلا اگه احتمال رو افتادن 0.13 باشه و احتمال پشت افتادن 0.87 بنویس: "0.13 0.87"
سکه کاملا معمولی هستش پس احتمال به رو افتادن با احتمال به پشت افتادن برابر است.
پاسخ - 0.5 0.5
از اون جایی سکه یا رو می افتد یا پشت و چیز دیگه ای اتفاق نمی افته پس جمع احتمال این دو برابر 1 است، از طرفی احتمال وقوع رو افتادن با پشت افتادن برابر است پس سهم هر کدام برابر 0.5 است.
احتمال چیه؟
توی دنیای واقعی، نیاز داریم آینده رو تا حدودی پیش بینی کنیم و اینکه بفهمیم یه اتفاق چه مقداری امکان وقوع داره، به همین مقداری که امکان وقوع اتفاق هارو بیان میکنه احتمال میگن. اسم اون اتفاق ها هم "پیشامد" گذاشتن. خب چند تا چیز هست که لازمه بدونی:
- احتمال پیشامد A رو با
p(A)نمایش میدن - همیشه
0 <= p(A) <= 1 - وقتی میخوایم یه سری پیشامد رو بررسی کنیم باید "فضای نمونه" هم مشخص کنیم، مثلا اگه فقط انداختن یه تاس رو بررسی میکنیم فضای نمونه فقط شامل پیشامد های ممکن برای اون تاس هستش و خبری از پیشامدهایی که به اون تاس ربطی نداره نیست.
- فضای نمونه رو با نماد های مختلفی نمایش میدن و یکی از معروف ترین اون ها
Uهستش.
به نظرت p(U) برابر چنده؟
پاسخ - 1
چون فضای نمونه شامل همه ی پیشامد هایی هست که در حال بررسی آن هستیم، احتمال آن برابر p(U) = 1 است. مثلا اگه داریم انداختن یه سکه رو بررسی میکنیم، فضای نمونه هم شامل پیشامد به رو افتادن سکه و هم شامل پیشامد به پشت افتادن سکه هست پس فضای نمونه حتما اتفاق می افتد.
یه تاس را دوبار پشت سر هم پرتاپ میکنیم. به چه احتمالی مجموع اعدادی که اومده، عددی اول است؟
(پاسخ رو به صورت یک کسر غیرقابل ساده شدن بنویسید)
بیا تعداد حالات مطلوب را تقسیم بر کل حالات کن.
پاسخ - 5/12
تعداد کل حالات برابر 36 است (6 حالت برای پرتاپ تاس اول و 6 حالت برای پرتاپ تاس دوم. چون پرتاپ دوم به ازای هر حالت پرتاپ اول 6 حالت دارد، تعداد کل حالات اصل ضرب میشه 36 حالت)
تعداد حالات مطلوب را براساس عددی که در پرتاپ اول میاد حساب میکنیم.
|
تعداد حالات مطوب برای پرتاپ دوم |
عدد تاس در پرتاپ اول |
4 |
1 |
3 |
2 |
2 |
3 |
2 |
4 |
2 |
5 |
2 |
6 |
پس تعداد حالات مطلوب برابر 4 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15 است و چون احتمال وقوع هر یک از حالات با دیگری برابر است؛ احتمال اینکه مجموع دوعدد آمده اول باشد برابر تعداد حالات مطلوب بر روی کل حالات میباشد.
15/36 = 5/12
جایگشتی تصادفی از اعداد 1, 2, 3, ... , 100 داریم. به چه احتمالی تعداد اعداد بین 1 و 2 زوج است؟
(جواب را به صورت یه کسر غیرقابل ساده شدن بنویس. مثال: "1/13")
جایگاه اعداد را با 1 تا 100 شماره گذاری می کنیم. اگر عدد 1 در جایگاه زوجی باشد، عدد 2 باید در جایگاه فردی باشد و برعکس.
پاسخ - 50/99
طبق راهنمایی یا عدد 1 توی جایگاه فرده و 2 توی جایگاه زوج یا برعکس، و چون احتمال وقوع جایگشت ها با هم برابر است؛ تعداد حالت های مطلوب تقسیم بر کل حالات برابر جواب مسئله ست.
فرض کنید که در یک مسابقه تلویزیونی شرکت کرده‌اید و میان سه در باید یکی را انتخاب کنید. پشت یکی از درها یک ماشین است و پشت دو در دیگر دو بز. شما یکی از درها را انتخاب می‌کنید (مثلاً در شمارهٔ 1). مجری برنامه که می‌داند پشت هر در چه چیزی است، در دیگری را باز میکند (مثلاً در شمارهٔ سه) و به شما نشان می‌دهد که پشتش یک بز است. (مجری حتما دری را باز میکند که پشت آن بز باشد) بعد از شما می‌پرسد که «می‌خواهید در شمارهٔ 1 را با شمارهٔ 2 تاخت بزنید؟» آیا به سود شماست که انتخابتان را عوض کنید؟
(با بله یا خیر پاسخ دهید)
اول بدست بیارید که اگه انتخابتون رو عوض نکنید چقدر احتمال داره ماشین ببرید و بعدش بدست بیارید که اگه انتخابتون رو عوض کنید چقدر احتمال داره ماشین ببرید.
پاسخ - بله
به سود شماست که انتخابتون رو عوض کنید.
چون در ابتدا هیچ اطلاعاتی درباره پشت درها ندارید پس به احتمال 1/3 پشت در انتخابی شما ماشین است و به احتمال 2/3 بز. و چون مجری دری را باز میکند که پشت آن بز است پس پشت یکی از درهای بسته، ماشین وجود داره و پشت اون یکی در بسته بز. از چیزهایی که تا الان گفتم نتیجه میگیریم اگه انتخابمون رو عوض نکنیم به احتمال 1/3 پشت در انتخابی ماشین است. و اگر انتخابمون رو عوض کنیم در صورتی پشت آن ماشین است که پشت در انتخاب اول مون بز باشد و احتمال آن 2/3 هستش.
در یک کلاس، n ببعییی تپل مپل وجود داره. یکی از این ببعییی ها براش دوتا سوال پیش میاد.
nحداقل برابر چه عددی باشد تا به احتمال100درصد، روز تولد دوتا از ببعییی ها یکی بشه (تعداد روز تولد های مختلف را365تا در نظر بگیر)nحداقل برابر چه عددی باشد تا به احتمال99درصد، روز تولد دوتا از ببعییی ها یکی بشه.
(جواب دو قسمت رو با یه فاصله از هم بنویس)
برای بخش دوم بیا فرض کن تعداد ببعییی ها n باشه و برحسب اون احتمال اینکه هیچ دو تا ببعییی ای در یک روز به دنیا نیامده باشند رو حساب کن. حالا کافیه چیزی رو که به دست آوردی را برابر 1% قرار بدی.
پاسخ - 366 57
- اگه
366تا ببعییی وجود داشته باشه، حتما دوتاشون هستند که توی یک روز به دنیا اومدن. چون تعداد روزهای مختلف365تاست.
با کمتر از366هم نمیشه؛ چون ممکنه همه توی روزهای مختلف به دنیا اومده باشند. - اگه تعداد ببعییی هارو
nدر نظر بگیریم، احتمال اینکه هیچ دوتا ببعییی ای در یک روز به دنیا نیومده باشند برابر است با:
چون اگه قرار باشه روز تولد هردوتا ببعییی فرق کنه؛ ببعییی اول 365 حالت برای روز تولدش وجود داره، ببعییی دوم نباید روز تولدش با ببعییی اول یکسان باشه پس میشه 364 و الی آخر. از طرفی هم تعداد کل حالات برابر است با تعداد روزها به توان تعداد ببعییی ها.