اصل جمع
5 تا کتاب ریاضی، 2 تا کتاب فیزیک و 3 تا کتاب ادبیات در کتابخانه داریم، به چند حالت میتونیم یک کتاب از کتابخانه انتخاب کنیم؟
وقتی میخواهیم تعداد حالات رو بشماریم، یکی از راه های خوب اینه که مسئله رو به قسمت های مختلف که مجزا از هم باشند، تقسیم کنیم. اینطوری میتونیم تعداد حالات هر بخش رو راحت تر حساب کنیم و در پایان اعداد به دست آمده رو با هم جمع کنیم. مثلا توی مسئله بالای صفحه میتونیم کل کتاب های کتابخانه را به سه دسته ی کتاب های ریاضی و فیزیک و ادبیات تقسیم کنیم که کاملا مجزا از هم هستند، تعداد حالت های انتخاب کتاب ریاضی 5، فیزیک 2 و ادبیات 3 هستش پس تعداد کل حالت ها برابر 10 میشه.
فقط باید حواسمون به دوتا نکته ی خیلی مهم باشه:
- اون قسمت ها روی هم کل مسئله رو پوشش بدند.
- بخش ها کاملا مجزا از هم باشند. (یعنی هر حالت توی دقیقا یک بخش شمره بشه)
تعداد x و y هایی را پیدا کنید که x + y <= 5 و همچنین x و y اعدادی طبیعی باشند.
مسئله رو بر اساس x های مختلف تقسیم کن.
پاسخ - 10
مسئله رو بر اساس x های مختلف تقسیم میکنیم.
|
مقدار |
تعداد حالت های |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
مجموع این اعداد (تعداد حالت های y) برابر جواب مسئله است: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
یک جدول 4 در 4 داریم (16 تا خونه، 25 تا نقطه)، تعداد مسیر هایی که از نقطه سمت چپ-پایین شروع میشه و در نقطه ی سمت راست-بالا تموم میشه، به طوری که در مسیر فقط راست یا بالا بریم، چندتاست؟
برای هر نقطه حساب کن که چند تا مسیر با شرایط مسئله وجود دارد با این تفاوت که در آن نقطه تمام بشه. (و سعی کن هر کدوم رو بر اساس یه سری دیگه به دست بیاری)
یعنی مثلا خونه (3, 3) رو براساس جواب خونه های (2, 3) و (3, 2) بنویس و با ادامه دادن این کار میتونی جواب اصلی مسئله رو بدست بیاری.
پاسخ - 70
تعداد مسیرهای رسیدن به یک نقطه برابر مجموع تعداد مسیرهای رسیدن به نقطه ی پایینی و چپی آن است. (درواقع اومدیم تعداد مسیرهای رسیدن به هرنقطه رو با استفاده از اصل جمع به دو قسمت مجزا از هم تقسیم کردیم و سپس تعداد حالات هربخش رو با هم جمع کردیم)
تعداد اعداد دورقمی چندتاست؟
سعی کن براساس رقم دهگان حالت بندی کنی.
پاسخ - 90
این مسئله رو خیلی راحت تر از این حرف ها میشد حل کرد ولی میخوایم ببینیم اگه از دیدگاه اصل جمع بهش نگاه کنیم چطوری میشه. کل حالات را بر اساس رقم دهگان افراز میکنیم، اگه رقم دهگان 1 باشه، رقم یکان 10 حالت دارد و به همین ترتیب:
|
رقم دهگان |
تعداد حالات برای رقم یکان |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
پس تعداد کل حالات برابر 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 90 میشه.